Как можно оформить на папу что-то по уходу за ребёнком

А вы работаете официально? Если да, тогда вам нужно написать своему работодателю заявление о прерывании отпуска по уходу за ребёнком со дня когда ложитесь в больницу, и пусть вам открывают больничный лист. Муж, в свою очередь, пишет на своей работе заявление о предоставлении ему отпуска по уходу за ребёнком со дня, когда вы ложитесь в больницу и прервали свой отпуск. И к своему заявлению приложит заверенную копию вашего заявления о прерывании вашего отпуска по уходу. Как только вы вернетесь в форму, закрываете больничный, а муж пишет заявление на выход из отпуска по уходу. В данном случае из финансов вы получите пособие по вашей временной нетрудоспособности.
Если вы не работаете, то тут только за свой счёт, ну или договариваться с педиатром, что типа ребёнок заболел и больничный лист открывают папе. Но всё равно придётся вам брать справку, что вы были на лечении, папа её вместе с больничным сдаст своему работодателю.

В день перед госпитализацией идете к педиатру и берете больничный ребенку (мол, сопли и подкашливает). У вас свой больничный, а папа может пойти на больничный с ребенком

Знакомая брала с больницы где лежала больничный и её муж относил на работу, что его жена лежала в больнице, а он сидел с ребёнком который не ходит в сад

За свой счёт отпуск брать. По уходу за ребёнком уже у вас все оформлено. В декрете мамы болеть не могут по логике законодателей